Comentários dos professores Carlos Nogueira, Diego Fernandes, Lawrence Chiu, Mariana Penteado, Miguel Ângelo, Pedro Adriano, Peter Pan, Reinaldo Silva, Valentin di Pierre do curso Apogeu, sobre a prova de Matemática, da segunda fase do vestibular da Universidade Federal do Paraná:
QUESTÃO 1
RESPOSTA
a)
C(t)=50+30(20t-t²)
C(t)=50+600t-30t²
C(t)=-30t²+600t+50
b)
C(t)=-30t²+600t+50
2300= -30t²+600t+50
30t²-600t+2250=0
t=5h ou t=15h
Como o intervalo dado é em intervalo fechado entre 0 e 10, então nossa única resposta será t=5h.
QUESTÃO 2
RESPOSTA
a)
Reta r: y-yo=m(x-xo)
y-3=(3/-4)(x-0)
4(y-3)=-3x
4y-12+3x=0
3x+4y-12=0
b)
Seja p=(a;b) o ponto da interseção entre r e s. A condição necessária será que as duas áreas sejam iguais. Portanto:
A1=A2
3x=4y
Voltando na equação r:
3x+3x-12=0
6x=12
x=2
.: y=3/2
Sabe-se que o coeficiente m da reta s será dada por m=Δy/Δx.
Então:
m=(3/2)/2
m=3/4
QUESTÃO 3
RESPOSTA
a)
P(a)=n(a)/n(e)
P(a)=(54+51)/(54+51+41+34)
P(a)=105/180
P(a)=7/12
b)
P(a)=n(a)/n(e)
P(a)=(51)/(54+51)
P(a)=51/105
QUESTÃO 4
RESPOSTA
a)
Considerando as dimensões da base superior formando ângulo de 90º:
Vtanque= abc/2
Vtanque=(2x3x5)/2
Vtanque=15m³
Vtanque=15.000L
b)
(5/y)=(2/x)
Y=5x/2
A expressão do volume fica:
V=abc/2
V=3xy/2
V=3x5x/(4)
V=15x²/4 m³
QUESTÃO 5
RESPOSTA
a) 66% de Cobre, 12% de Estanho e 22% de Zinco
b) Encontramos como equações:
0,7A+0,6B+0,5C=0,6
0,2A+0,0B+0,3C=0,2
0,1A+0,4B+0,2C=0,2
QUESTÃO 6
RESPOSTA
a) Como o seno varia entre -1 e 1, temos:
hmáx=4(1)+4 = 8
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hmín=4(-1)+4=0
b) Encontramos o Período como:
T=2π/m, onde m é o coeficiente de de t
T=2π/(2π/0,05)=0,05s
Dividindo os 60s pelo período encontramos:
Ciclos=60/0,05 =1200
QUESTÃO 7
RESPOSTA
a) Volume será dado por um cilindro:
V=(πr²)h
V=(π(1,7)²)10
V=28,92πm³
b)
(1,7²)=a²+0,8²
a=1,5m
onde a representa metade da corda limitada entre as superfícies cheias e vazias.
Assim, a área procurada será:
A=(10)2(1,5)=30m²
QUESTÃO 8
RESPOSTA
a) Substituindo t por 9 temos:
S=-18log(9+1)+86
S=68%
b) Substituindo S por 50 temos:
50=-18log(t+1)+86
Log(t+1)=2
10²=t+1
t=99min
QUESTÃO 9
RESPOSTA
a)
Passando para a forma trigonométrica, vem:
Z2=1(cos120º+isen120º)
(Z2)n=(cosn120º+isenn120º)
Para real puro temos sen(n120)=0
Então: 120n=180k
K=120n/180
K=2n/3
sendo k um número inteiro.
Como teremos o menor inteiro, temos n=3.
b) Passando para a forma trigonométrica:
Z3=1(cos240º+isen240º)
Z3100=(cos(100×240º)+isen(100×240º))
Z3100=cos24000º+isen24000º
Z3100=cos240º+isen240º
Z3100=-(1+√3)/2
QUESTÃO 10
RESPOSTA
a)
x+x+60º=180º
x=60º .: Triângulo Equilátero
Assim, a área do hexágono será:
A=área de um quadrado de lado 1 + duas áreas de um triângulo equilátero de lado 1
Substituindo, encontramos:
A=1²+2(1²√3/4)
A=(√3/2 + 1) ua
b) Sugestão de procura da resposta, para encontrarmos 2sen(x/2)+sen(x)
Partindo de cos(x/2)+cos(x) e fazendo y=x/2 temos: x=2y
cosy+cos2y=0
Sabemos que:
Cos(2y)=2cos²y-1
Então:
2cos²y+cosx-1=0
Resolvendo as raízes encontramos:
Cosy=-1 ou cosy=1/2
Então:
y=180º .: x=360º(falsa)
ou
y=120º .: x=120º
Assim:
A=2Sen(120º/2)+sen(120º)
A=3√3/2 ua.
COMENTÁRIO GERAL:
Como era esperado, fomos presenteados com uma prova bem elaborada e, de um modo geral contemplou boa parte dos conteúdos propostos no edital do concurso vestibular premiando o candidato bem preparado.
Parabenizamos a banca examinadora pelas ótimas questões elaboradas.
